1 Επίλυση προβλημάτων
1.1 Απαντήσεις στα Ερωτήματα
Πότε έχουμε “πρόβλημα”: Στη ζωή μας λέμε ότι έχουμε πρόβλημα όταν δημιουργείται μια κατάσταση στην οποία αντιμετωπίζουμε εμπόδια και δυσκολίες στην προσπάθειά μας να φτάσουμε σε έναν συγκεκριμένο στόχο.
Τι επιδιώκουμε λύνοντας ένα πρόβλημα: Όταν λέμε ότι «λύνουμε ένα πρόβλημα», επιδιώκουμε την επίτευξη του στόχου που έχουμε θέσει εξαρχής.
Τι εννοούμε με τη “λύση”: Ως λύση του προβλήματος ορίζεται η ίδια η επίτευξη του στόχου. Η διαδικασία μέσω της οποίας φτάνουμε σε αυτό το αποτέλεσμα ονομάζεται επίλυση.
Λύνονται όλα τα προβλήματα με τα Μαθηματικά: Όχι, δεν λύνονται όλα τα προβλήματα με τη βοήθεια των Μαθηματικών. Υπάρχουν προβλήματα που δεν επιδέχονται μαθηματική μοντελοποίηση (π.χ. με εξισώσεις), καθώς και άλυτα προβλήματα ή προβλήματα των οποίων τη λύση δεν μπορούμε να βρούμε με τις τρέχουσες γνώσεις μας.
Αναγκαίες ενέργειες για την αντιμετώπιση προβλήματος: Για να αντιμετωπίσουμε ένα πρόβλημα, ειδικά με τη χρήση εξισώσεων, ακολουθούμε τα εξής βήματα:
- Προσδιορίζουμε το άγνωστο στοιχείο και το συμβολίζουμε με ένα γράμμα (π.χ. x, y).
- Εκφράζουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του προβλήματος με τη βοήθεια του αγνώστου.
- Περιγράφουμε το πρόβλημα με μια εξίσωση.
- Επιλύουμε την εξίσωση.
- Πραγματοποιούμε επαλήθευση της λύσης που βρήκαμε.
1.2 Α. Λύνω προβλήματα τεσσάρων πράξεων
1.2.1 Παραδείγματα Επίλυσης
- Αγορά Σχολικών Ειδών:
Η Χριστίνα ξόδεψε τα μισά της χρήματα για να αγοράσει 2 τετράδια (1€ το καθένα) και μαρκαδόρους που κόστισαν 3€. Πόσα χρήμ,ατα είχε;
Λύση
- Για να βρούμε τα αρχικά της χρήματα (x), σχηματίζουμε την εξίσωση \(x : 2 = 2 \cdot 1 + 3\), άρα \(x : 2 = 5\), συνεπώς \(x = 10 \text{ €}\).
- Συντήρηση Δεξαμενής:
Σε μια δεξαμενή 3.000 \(m^3\) ξοδεύονται καθημερινά 500 \(m^3\). Μετά από 4 ημέρες συντήρησης, η κατανάλωση περιορίζεται στα 400 \(m^3\) την ημέρα. Πόσες ακόμη ημέρες θα επαρκέσει το νερό;
Λύση
- Για να βρούμε πόσες επιπλέον ημέρες (x) θα επαρκέσει το νερό, λύνουμε την εξίσωση: \(500 \cdot 4 + 400 \cdot x = 3.000\), που δίνει \(x = 2,5\) ημέρες.
- Μεροκάματο Εργάτη:
Ένας εργάτης πήρε προκαταβολή 180€, που ήταν το μισό της αμοιβής του για 5 ημέρες εργασίας. Πόσο είναι το μεροκάματό του;
Λύση
- Η συνολική αμοιβή είναι \(180 \cdot 2 = 360 \text{ €}\), άρα το μεροκάματό του είναι \(360 : 5 = 72 \text{ €}\).
- Διανομή Κληρονομιάς:
Τρία αδέρφια μοιράστηκαν 1.960.000 €, με τον πρώτο να παίρνει 70.000 € περισσότερες από τους άλλους δύο. Πόσο πήρε ο καθένας;
Λύση
- Αφαιρούμε τη διαφορά (\(1.960.000 - 70.000 = 1.890.000\)) και διαιρούμε δια 3 (\(630.000\) €). Ο πρώτος πήρε \(630.000 + 70.000 = 700.000\) € και οι άλλοι δύο από \(630.000\) €.
- Συμπλήρωση Δεξαμενής Λαδιού:
Τα \(\dfrac{2}{3}\) μιας δεξαμενής περιέχουν 1.440 kg λάδι. Πόσο λάδι χρειάζεται για να γεμίσει και πόσο θα πληρώσουμε για αυτό αν το κιλό το λάδι κοστίζει 8 €;
Λύση
- Το \(\dfrac{1}{3}\) περιέχει \(1.440 : 2 = 720\) kg.
- Για να γεμίσει η δεξαμενή χρειάζονται ακόμα 720 kg, που με τιμή 8 €/kg κοστίζουν \(720 \cdot 8 = 5760\) €.
1.2.2 Προβλήματα προς Λύση
Αν από την ηλικία μιας μητέρας αφαιρέσουμε 18 έτη, βρίσκουμε την ηλικία της κόρης της που είναι 25 ετών. Ποια είναι η ηλικία της μητέρας;
Τα \(\dfrac{2}{8}\) των μαθητών ενός σχολείου είναι 60 μαθητές. Πόσοι είναι συνολικά οι μαθητές του σχολείου και πόσοι αποτελούν τα \(\dfrac{7}{10}\) αυτών;
Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που έχουν άθροισμα 1.533.
Βρείτε το ψηφίο που λείπει από τον αριθμό \(75\_3\), ώστε να διαιρείται ακριβώς με το 9.
Σε ένα τεστ 100 ερωτήσεων, ένας μαθητής παίρνει 3 μονάδες για κάθε σωστή απάντηση και 1 μονάδα για κάθε λάθος. Αν συγκέντρωσε 220 μονάδες, σε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά;
Η ηλικία ενός πατέρα είναι τετραπλάσια από την ηλικία του γιου του. Αν μαζί έχουν άθροισμα ηλικιών 50 έτη, πόσο χρονών είναι ο καθένας;
Ένας γεωργός αγόρασε ένα χωράφι και ένα διαμέρισμα. Το χωράφι κόστισε 600€ λιγότερο από 15.000€, ενώ το διαμέρισμα 15.600€ περισσότερο από 15.000€. Ποια η αξία του καθενός;
Στην πρόσθεση \(AB + 47 = 73\), βρείτε τα ψηφία A και B.
Ένας οινοπαραγωγός έχει μεταξύ 90 και 100 λίτρα κρασί. Αν γεμίσει δοχεία των 7 λίτρων, του περισσεύουν 18 λίτρα. Πόσα λίτρα κρασί έχει και πόσα δοχεία χρησιμοποίησε;
Θέλουμε να συσκευάσουμε 100 λίτρα ξύδι σε μπουκάλια των 0,75 λίτρων. Πόσα μπουκάλια θα γεμίσουν πλήρως και πόση ποσότητα θα περισσέψει;
Μια παραλία μήκους 18,75 km πρέπει να καθαριστεί. Αν ένα συνεργείο καθαρίζει 3,5 km την ημέρα και ένα άλλο 2,75 km, σε πόσες ημέρες θα τελειώσουν αν εργαστούν μαζί;
Ένας ιός υπολογιστή μολύνει 3 νέα αρχεία κάθε ώρα. Αν ξεκινήσει από 1 μολυσμένο αρχείο, πόσα θα είναι τα μολυσμένα αρχεία στο τέλος της 5ης ώρας;
Ένας υπάλληλος αποταμιεύει κάθε μήνα το \(\dfrac{1]{15}\) του μισθού του. Αν ο μισθός του αυξηθεί κατά \(\dfrac{1}{5}\) και αυτός συνεχίσει να αποταμιεύει το ίδιο ποσό, τι μέρος του νέου του μισθού θα αποταμιεύει;
Φέτος η ηλικία ενός ανθρώπου είναι πολλαπλάσιο του 7 και του χρόνου θα είναι πολλαπλάσιο του 9. Αν δεν είναι αιωνόβιος, ποιες είναι οι δυνατές ηλικίες του;
Ένα λεωφορείο 52 θέσεων έχει σειρές των 4 καθισμάτων. Πόσες σειρές καθισμάτων έχει συνολικά;
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!!